Maxima поддерживает работу с эллиптическими функциями Якоби, а также полными и неполными эллиптическими интегралами - как символьную манипуляцию, так и численные расчеты. Определение этих функций и множество их свойств можно найти в главах 16, 17 справочника Abramowitz, Stegun. Мы используем определения и отношения из книги Абрамовица и Стиган там, где это возможно.
В частности, все эллиптические функции и нтегралы используют параметр \(m\) вместо модуля \(k\) или амплитуды \(\alpha\). Это единственное расхождение с Амбрамовицем и Стиган, которые используют для эллиптических функций амплитуду. Действуют следующие отношения:
В первую очередь упор делался на символьные вычисления с эллиптическими функциями и интегралами. Поэтому известно большинство производных для функций и интегралов. Однако, если в какчестве параметра заданы числа с плавающей точкой, то возвращается численное значение.
Поддержка большинства других свойств эллиптических функций и интегралов, помимо выражения их производных, еще не реализована.
Несколько примеров для эллиптических функций:
(%i1) jacobi_sn (u, m);
(%o1) jacobi_sn(u, m)
(%i2) jacobi_sn (u, 1);
(%o2) tanh(u)
(%i3) jacobi_sn (u, 0);
(%o3) sin(u)
(%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
(%o4) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
(%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
(%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
(u - ------------------------------------)/(2 m)
1 - m
2
jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
+ --------------------------------
2 (1 - m)
Несколько примеров для эллиптических интегралов:
(%i1) elliptic_f (phi, m);
(%o1) elliptic_f(phi, m)
(%i2) elliptic_f (phi, 0);
(%o2) phi
(%i3) elliptic_f (phi, 1);
phi %pi
(%o3) log(tan(--- + ---))
2 4
(%i4) elliptic_e (phi, 1);
(%o4) sin(phi)
(%i5) elliptic_e (phi, 0);
(%o5) phi
(%i6) elliptic_kc (1/2);
1
(%o6) elliptic_kc(-)
2
(%i7) makegamma (%);
2 1
gamma (-)
4
(%o7) -----------
4 sqrt(%pi)
(%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
1
(%o8) ---------------------
2
sqrt(1 - m sin (phi))
(%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
(%o9) (-----------------------------------------------
m
cos(phi) sin(phi)
- ---------------------)/(2 (1 - m))
2
sqrt(1 - m sin (phi))
Поддержку эллиптических функций и интегралов реализовал Реймонд Той, и его код доступен под лицензии GPL, как и весь код Maxima.
Эллиптическая функция Якоби \(sn(u,m)\).
Эллиптическая функция Якоби \(cn(u,m)\).
Эллиптическая функция Якоби \(dn(u,m)\).
Эллиптическая функция Якоби \(ns(u,m) = 1/sn(u,m)\).
Эллиптическая функция Якоби \(sc(u,m) = sn(u,m)/cn(u,m)\).
Эллиптическая функция Якоби \(sd(u,m) = sn(u,m)/dn(u,m)\).
Эллиптическая функция Якоби \(nc(u,m) = 1/cn(u,m)\).
Эллиптическая функция Якоби \(cs(u,m) = cn(u,m)/sn(u,m)\).
Эллиптическая функция Якоби \(cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m)\).
Эллиптическая функция Якоби \(nc(u,m) = 1/cn(u,m)\).
Эллиптическая функция Якоби \(ds(u,m) = dn(u,m)/sn(u,m)\).
Эллиптическая функция Якоби \(dc(u,m) = dn(u,m)/cn(u,m)\).
Обратная эллиптическая функция Якоби для \(sn(u,m)\).
Обратная эллиптическая функция Якоби для \(cn(u,m)\).
Обратная эллиптическая функция Якоби для \(dn(u,m)\).
Обратная эллиптическая функция Якоби для \(ns(u,m)\).
Обратная эллиптическая функция Якоби для \(sc(u,m)\).
Обратная эллиптическая функция Якоби для \(sd(u,m)\).
Обратная эллиптическая функция Якоби для \(nc(u,m)\).
Обратная эллиптическая функция Якоби для \(cs(u,m)\).
Обратная эллиптическая функция Якоби для \(cd(u,m)\).
Обратная эллиптическая функция Якоби для \(nc(u,m)\).
Обратная эллиптическая функция Якоби для \(ds(u,m)\).
Обратная эллиптическая функция Якоби для \(dc(u,m)\).
Неполный эллиптический интеграл первого рода, заданный в виде
\(integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)\)
См. также elliptic_e и elliptic_kc.
Неполный эллиптический интеграл второго рода, заданный в виде
\(elliptic_e(u, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)\)
См. также elliptic_e и elliptic_ec.
Неполный эллиптический интеграл второго рода, заданный в виде
\(integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)\)
где \(tau = sn(u,m)\)
Это связано с \(elliptic_e\) отношением См. также elliptic_e.
Неполный эллиптический интеграл третьего рода, заданный в виде
\(integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)\)
Для Maxima известна только производная по \(phi\).
Полный эллиптический интеграл первого рода, заданный в виде
\(integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)\)
Для конкретных значений \(m\) значение интеграла выражается через гамма-функцию.
Для вычисления используйте makegamma.
Полный эллиптический интеграл второго рода, заданный в виде
\(integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)\)
Для конкретных значений \(m\) значение интеграла выражается через гамма-функцию.
Для вычисления используйте makegamma.